Względne postrzeganie czasu: model matematyczny • Type of Web

Gęstość zdarzeń a postrzeganie czasu

Gdy rozmawiałem o tym z kilkoma osobami, twierdziły one po prostu, że jako dziecko miały znacznie więcej ciekawych i nowych doświadczeń, a dziś powiewa nudą. Wydaje się to intuicyjne, jednak nie do końca tłumaczy dlaczego wydarzenia z dzieciństwa miałyby wpływać na nasze postrzeganie upływu czasu w późniejszym wieku.

Wiele osób sugeruje też, że czas, który postrzegamy jest relatywny w stosunku do czasu przeżytego. Przykładowo, rok postrzegany przez 4-letnie dzieci to aż 25% ich całego życia, a w przypadku osoby dorosłej będzie to mniej niż 5%.

Model matematyczny względnego czasu

Lekko przeformułuję powyższe twierdzenie, aby było nam łatwiej spróbować zapisać je równaniem: Postrzegana prędkość upływu okresu czasu maleje z wiekiem.

W publikacjach naukowych znalazłem sugestię, jakoby ta zależność była proporcją w stosunku do bezwzględnego upływu czasu (obiektywnie mierzonych np. lat)¹. Jednakże, zgodnie z przyjętymi przez nas założeniami, odczuwamy czas względny, a nie obiektywny! Spróbujmy zapisać to przy pomocy matematyki.

Przyjmijmy, że czas obiektywny oznaczymy $O$ , a czas subiektywny (postrzegany przez nas, relatywny) jako $S$ .

$dO$ i $dS$ to infinitezymalne okresy czasu – $dS$ oznacza odczuwany przez nas upływ czasu $dO$ .

Jak napisałem wcześniej, postrzegany upływ czasu maleje z czasem przeżytym (również subiektywnym!), a więc $dS$ maleje ze wzrostem $S$ . Wynika z tego, iż:

dS = dO\frac{K}{S}

gdzie $K$ to jakaś stała, której za moment się pozbędziemy. Dodatkowo przyjmujemy, że w momencie narodzin zarówno $O$ jak i $S$ są równe 0: $O_0 = S_0 = 0$ .

Nie pozostaje nam nic innego jak przekształcić równanie i scałkować:

dS = dO \cdot \frac{K}{S} \\\\ SdS = K dO \\\\ \int_0^S SdS = K \int_0^O dO \\\\ \frac{1}{2} S^2 = KO \\\\ S^2 = 2KO \\\\ S = \sqrt{2KO} \ \ \ \ \ S \geq 0;\ \ O \geq 0 \\\\ \\\\ dS = dO \frac{K}{S} \\\\ dS = dO \frac{K}{\sqrt{2KO}} \\\\ dS = dO \frac{\sqrt{K^2}}{\sqrt{2KO}} \\\\ dS = dO \sqrt{\frac{K^2}{2KO}} \\\\ dS = \sqrt{\frac{K}{2O}}\ dO \\\\

Przyjmijmy teraz ten sam okres czasu $dO$ postrzegany w dwóch różnych momentach życia $O_1$ i $O_2$ i znajdźmy proporcję pomiędzy relatywnym postrzeganiem:

dS = \sqrt{\frac{K}{2O}} dO \\\\ \\\\ dS_1 = \sqrt{\frac{K}{2O_1}} dO \\\\ dS_2 = \sqrt{\frac{K}{2O_2}} dO \\\\ \\\\ \frac{dS_1}{dS_2} = \frac{\sqrt{\frac{K}{2O_1}} dO}{\sqrt{\frac{K}{2O_2}} dO} \\\\ \frac{dS_1}{dS_2} = \frac{\sqrt{\frac{K}{2O_1}}}{\sqrt{\frac{K}{2O_2}}} \\\\ \frac{dS_1}{dS_2} = \sqrt{\frac{O_2}{O_1}} \\\\

Wynika z tego, że dla przeciętnej osoby subiektywne postrzeganie tego samego okresu czasu zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do pierwiastka długości jego życia.

Zastosowanie

Zastanówmy się teraz, jak zmienia się postrzeganie roku swojego życia dla osoby mającej lat 10 i 40. Podstawiając do wyprowadzonego wzoru otrzymujemy:

\sqrt{\frac{40}{10}} = \sqrt{4} = 2

Oznacza to, że dla 40-letniego człowieka rok upłynie dwukrotnie szybciej niż dla 10-latka!

Relatywne postrzeganie czasu

Możemy też pójść o krok dalej – zastanówmy się, jaką część swojego życia (relatywnie) mamy już za sobą. Jeśli wrócimy na chwilę do jednego z równań…

S = \sqrt{2KO} \ \ \ \ \ S \geq 0;\ \ O \geq 0

Oznaczmy moment śmierci jako $S_ś$ i $O_ś$ (odpowiednio postrzegany względnie i obiektywnie), podstawmy do powyższego równania i podzielmy przez to samo równanie:

S_ś = \sqrt{2KO_ś} \\\\ S = \sqrt{2KO} \\\\ \\\\ \frac{S}{S_ś} = \frac{\sqrt{2KO}}{\sqrt{2KO_ś}} \\\\ \frac{S}{S_ś} = \sqrt{\frac{O}{O_ś}}

Dla ułatwienia obliczeń przyjmijmy najpierw, że człowiek żyje 100 lat ( $Oś = 100$ ), a analizowana osoba ma lat 25 ( $O = 25$ ):

\sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = 0,5

Oznacza to, że 25-latek ma za sobą aż 50% swojego życia, a przynajmniej tak to postrzega, pomimo tego, że de facto przed nim jest jeszcze 75% życia mierzonego w latach obiektywnych.

Przeanalizujmy teraz mnie. Przyjmując, że Polacy średnio dożywają 86 lat, a ja mam lat 29, to:

\sqrt{\frac{29}{86}} = 58%

Cóż, większość życia już za mną 🙃

Relatywny czas vs czas obiektywny

Szczęśliwie, jak słusznie zauważono, subiektywny czas, jaki nam pozostał nigdy nie będzie mniejszy od połowy obiektywnego czasu do śmierci. Możemy spróbować to udowodnić!

Jeśli relatywny i obiektywny czasy do śmierci dane są równaniami:

1 - \sqrt{\frac{O}{O_ś}} \\\\ 1 - \frac{O}{O_ś}

Zacznijmy od dwóch wcześniej omawianych przykładów:

1 - \sqrt{\frac{25}{100}} = 0,5 \\\\ 1 - \frac{25}{100} = 0,75

Jeśli podzielimy jeden przez drugi okaże się, że wynik jest większy niż połowa:

\frac{0,5}{0,75} = 0,(6)

Analogicznie dla drugiego przykładu:

1 - \sqrt{\frac{29}{86}} \approx 0,4193027447 \\\\ 1 - \frac{29}{86} \approx 0,6627906977 \\\\ \frac{0,4193027447}{0,6627906977} \approx 0,6326322113

Teza wydaje się zgadzać. Spróbujmy uogólnić:

\frac{1 - \sqrt{\frac{WIEK}{ŚMIERĆ}}}{1 - \frac{WIEK}{ŚMIERĆ}} \geq \frac{1}{2}

Wiek jest tutaj zmienną, a śmierć to stała. Możemy w takim razie podmienić:

x = \frac{WIEK}{ŚMIERĆ}\ \ \ \ \ 0 \leq x \leq 1

\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} > 1/2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \\\\ \\\\ \frac{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})}{(1 - x)(1 + \sqrt{x})} \\\\ \frac{1 - x}{(1-x)(1+\sqrt{x})} \\\\ \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \\\\ \\\\ \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \geq 1/2 \\\\ 1 + \sqrt{x} \leq 2 \\\\ \sqrt{x} \leq 1 \\\\ \\\\ 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 \leq \sqrt{x} \leq 1

Co potwierdza poprzednie twierdzenie.

Podsumowanie

Co ciekawe, powyższe teorie i wyliczenia wstępnie potwierdzono również eksperymentalnie². A Wy ile swojego życia macie już za sobą w jednostkach relatywnych?

Czy podobał Wam się ten wpis? Dajcie znać w komentarzach.

Doob (1971), Janet (1877) ↩
Robert Lemlich – Subjective acceleration of time with aging, 1975 ↩